Принцип Сен – Венана.
Качество приложения нагрузки не сказывается на значительном удалении от нее, а точнее расстояние одного полутора наибольших линейных размеров площадки ее приложения.
Р
P
h
b
статическ.эквивал.
поля
h
(1-15)h b
l
Заключение:
Получение функций деформаций перемещения и деформаций напряжений состояний не является самоцелью, главная задача инженера – уметь оценивать площадь несущей конструкции, допустимость внешнего нагружения, размеров поперечного сечения.
PageLayout/SinglePage/Pages 1027 0 R/StructTreeRoot 121 0 R/Type/Catalog endobj 1033 0 obj </Properties</Rotate 0/StructParents 0/Tabs/S/Type/Page endobj 1034 0 obj <stream h��UKo�F�����}?�T����v\ˮZ,x�-V& ��՟o���V�D��^fvv^��o�Qi%�JK� ��E�0<0�mÉ1��:I���S8M��8xQ:r0�6�����iJ8��f�n�۷�U�ɏ���臣�я’��n�’�����V9�A���&/[���۠1����z��E�:�-�S����&_M[��?��v۹ 4���p`T�d<����ȇ��$�l�./V�-т’��S=�%��l���We;U�S�\�B)�o����lS�w��l]���I’+�y(��1N��O~�e�8��y�=U�e���u�<&WU���Q��3�&���r�� M�m��IȮ�A7d^۶��ߞ~H�5yP9:�c��߬��$�e6�����e�M�+�LP@2�x�H��v�8��������s�j�<���xiA��;P뭑���k�SÙW(���K���x�l��^Q��q�(̤�=�RK�W�g�� �d��N��2� �A �,Ȕ��”/�a_b�����CP_�D�”�;�=�&�N5ȏ��#��&e4D�b�J_�J7��c���h(�Y�P-1��ۗ=T�&��]Y@)���Ѿߎ �?A��A��Od�in�V��_Aú��}�H�����xz1}5c�.o_���?@{?�B�,Ư����ŏ�)��Dl �Va�1�#�QT�R:U�yC9��0p��k�RM1�g��Ώ�#nR�(�.
Eu��~?����|ea��/�b] �B� i�(%_I�m4`��O�8m��і�G���#��<��G7��*�#M b\?:��k!���ϡ ��� �F� #�c����i�pP�@`�(�8M !!� h�bs��8�� l���� ����w?]�cm�)�1���`Գ�O��6�&�v��k��’!!��8� Z�蝠]pZ.�h5�ش�8s9�ak�,aI͛��xF��g4+y�ܩd �� -���v�u��g�na�9���Jӄ$__��B��M, ��P���@=9��R��d�-�������o�7~��C���r�d==�w���J���(�ݤFVF�E�}H��$���5j�V�b^b�݊X�8��7�P͓s��&hw1sث�=���� ή�o1��p@f��%[r��χ=���� �v�EZ�;��`��/K��#@ئ�ς�)`�ҽ��h�@����~����]Wjv��/QoĀru�hO��Q�eR���N��zr�P��1Z̆��s��A��.���Y5D��Ӭz�o���V���j�ZU�K��|Ͽ�+��r����4U�l�˾) ��̧F+�C���W���ϋ2B��4.Cl��[�`�-�.�f��G)��;����%{�����4�b�~{@\�?�����1U2�i��w�o�?�� �wT��]�K�#�$X�bU�F����WX������Be��� ��bZ(��#|”��b���ڬ��n���_!�Ԫ�D سʖ��W�:�e�F?yxo”�^�칚v({a�=J���q�q���*��ᚍ]N�����ҝ�r%��3��Pǹ,;�:�W{�&r*�F\�в5j�.݁q;��1k,S�l��]����R����T���G�D̗~�D۔o�����U��C)��h�{U�(���5�LY��0�$Mĕ��k��`��+����(N{‘b��_��w`�0P;�:��E��������~٦�T�NJ��d�#�q��1�gFʷn”�_��^� �EB���.
Подставив во второе уравнение равенств (19) выражение (23), получим, что касательные напряжения
(25)
Запишем уравнения равновесия (18) в развернутом виде для j = 1
(26)
Подставив в уравнение (26) выражения для нормальных (24) и касательных (25) напряжений, получим
(27)
где л- константа Ламе, которая определяется по выражению:
(28)
Подставим выражение (28) в уравнение (27) и запишем,
(29)
где определяется по выражению (22), или в развернутом виде
Разделим выражение (29) на G и приведем подобные слагаемые и получим первое уравнение Ламе:
(30)
где – оператор Лапласа (гармонический оператор), который определятся как
(31)
Аналогично можно получить:
(32)
Уравнения (30) и (32) можно записать в следующем виде:
(33)
Уравнения (33) или (30) и (32) являются уравнениями Ламе.
Если объемные силы равны нулю или постоянны, то
(34)
причем запись в данном случае не подразумевает суммирования по i. Здесь
(35)
или, с учетом (31)
(36)
Подставив (22) в (34) и проведя преобразования, получим
а, следовательно
(37)
где – функция, удовлетворяющая данному равенству.
Если
следовательно, f – функция гармоническая. Значит и объемная деформация также функция гармоническая.
Считая верным предыдущее предположение, возьмем гармонический оператор от i -ой строчки уравнения Ламе
(38)
Где (39)
Если объемные силы равны нулю или постоянны, то компоненты перемещения есть бигармонические функции.
Известны различные формы представления бигармонических функций через гармонические (удовлетворяющие уравнениям Ламе).
где k = 1,2,3.
Kޟ�2�fP�\�NR~:e24h�$��8�?’�$(���p��4H���#��p��9�%A�ڋn�ˠcs��Q����1�hkڣ�Yy~�J)’e�LH�a��fD5�ɒ��)R�54��q߾?�y�B��B��n”��ާ0�&?W�]�I�<[7h��V���`��1�y�����VB6L���ڣ�B�P�Qidb�]N���q�Be��’��’ce^n�8V� ���Q�x^�x�=� q:#V[��j�N�zȦ��[8K��WH}��?%�ϕ��ּkOK��L�N�H��(�f’�/”͍� �*�|p?p���:��#�Y�J���h�T���ZoI���D�]��4���^�{�’2�(�5�����L��L�Ɍ�(�=�(�+ ��[�N �S%m��_͖N�2��tV�9�$ �d���7����^��Ug�ޝ��&�U “�v� �P”k�P�,��=�`��fy�K�XJEE)�x�V@8RJ�u�u+HK9ԲX[ x��S�X6!/����y4���s~�w�ܙ�f�����ߌ�؎oс:R�T�(�`���m��Z0� �<���I����<���d��|�c�*��r� “���<����M�n�d�)�g��Qib�J��F04��Joc�ߩY���ԙ�(Q��%�ZL�\�`ޭN�Zi�6��b)�I��t�_砧dk*�<�����簶��l��v�`’�A{�W�e����@C�� Ҋ\�ҿ���G��㑫[_�Ir�_B�X�.�����|Y�H��@��(*�U@��q����Js�<��s-��oX�R˩_���b}��U�/: -�0�hՎ�Z}X�d�GC���`)z��A/QAE��Nԕ谚x��u�H���2 ����:�I�̟�3�u��d��5��w{3#��”����V�R)s���徕�_%�ێ-5�i����6��}�����Aj�o��f���.6��5����Z�e������^���d�qaB^G��c�X١��HoĤ��ٰ�,�.
Пара́метры Ламе́ (названные в честь Габриэля Ламе) — материальные константы (нем.), характеристики упругих деформаций изотропныхтвёрдых тел, модули упругости.
В линейной теории упругостизакон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:
Здесь λ называется первым параметром Ламе, а μ (модуль сдвига, Н/м²) — вторым параметром Ламе.
Энергия упругой деформации является квадратичной формойтензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени.
Такими скалярами являются и .
Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.
.
Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.
Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:
Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:
В уравнении Навье-Стокса — уравнениях движения сжимаемой жидкости:
коэффициенты динамической вязкостиλ и η являются соответственно первым и вторым параметрами Ламе.
Сен – Венана) преобразованное с помощью уравнения равновесия, в результате получаются уравнения Бельтрами – Митиела или уравнения совместности деформаций напряжений:
, , где
или
6 (4.7)
Замечание:
Если момент вектора интенсивности не зависит от координат точек тела или постоянен, то уравнения, 4.7 после преобразований и повышении степени будут иметь вид:
Смешанный метод.
Иногда в качестве неизвестных рассматривают ряд перемещений, ряд напряжений.
Замечания:
Т.к метод, где в качестве неизвестных рассматриваются деформации не имеет преимуществ перед методами перемещения сил, то он не используется ………………..
Для простейших напряжений возникающих при растяжении, сдвиге эта задача решается достаточно просто.
Н – действующая напряжений состояния сравнивается с достаточно легко осуществленным экспериментально, напряженным состоянием.
– условия достаточной прочности
где – опасные (предельные) напряжения – такие напряжения при которых материал переходит из упругого состояния (выполняется закон Гука), в опасное состояние. Для пластичности материала это появление и накопление остаточных или необратимых деформаций.
– предел текучести касательного предела текучести.
– коэффициент запаса по пределу текучести.
КЗТУ.
В отличии от сопромата, где рассматривают тела – брусья (продольный размер больше поперечных размеров ) используется гипотеза плоских сечений (сечения плоские и перпендикулярны оси бруса до деформации остаются такими же и после деформации). Согласно модели КЗТУ рассматриваются тела произвольной конфигурации, находящиеся под действием произвольной системы сил и имеющие произвольную схему закрепления.
Несмотря на то, что дифференциальные уравнения 4.1; 4.2; 4.3 являются линейными и справедлив принцип суперпозиции, решение КЗТУ является очень сложным, т.к представляет собой бесконечное множество частных решений, охватывающих бесконечное многообразие форм тела, схем нагружения, закрепления, до сих пор не получены, т.к математика не располагает такими универсальными функциями.
1.
Прямой подход. Заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений математической модели. Полученные частные решения должны удовлетворять поставленным граничным условиям, основные трудности заключаются в этом.
Точные аналитические решения получены для ряда простейших задач: растяжение призматического бруса под собственным весом, чистый изгиб, кручение призматического бруса. Также используются приближенные аналитические методы: метод Ритуа – Канторовича, метод Бубнова – Галеркина; численные методы: метод конечных элементов, метод конечных разностей.
2. Обратный подход …………… по известным (из физических соображений, наблюдений за экспериментом) для всего тела, функциями перемещения, деформаций напряжений находят условия на поверхности тела данная задана достаточно простая, т.к связана с дифференцированием.