Сегодня на уроке мы научимся складывать и вычитать смешанные числа.
На прошлом уроке мы с вами уяснили, что сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака «+». Такую сумму называют смешанным числом. Натуральное число называют целой частью смешанного числа, а дробь – дробной частью смешанного числа. То есть
При сложении смешанных чисел пользуются переместительным и сочетательным свойствами сложения.
Пример
Найти сумму чисел и .
В записи в тетрадях не стоит расписывать, как вы считаете достаточно написать:
Таким образом, чтобы сложить смешанные числа, нужно сложить по отдельности их целые и дробные части и записать сумму полученных чисел.
Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части может получиться неправильная дробь.
Это означает, что прибавление отрицательного числа будет выполняться путем перемещения вдоль числовой линии влево:
5 + (-2) = 3
14 + (-12) = 2
-2 + (-13) = -15
Поскольку прибавление отрицательного числа выполняется путем перемещения вдоль числовой прямой в отрицательном направлении, эта операция эквивалентна вычитанию положительного числа:
3 + (-3) = 3 – 3 = 0
Чтобы вычесть отрицательное число, прибавьте к нему противоположное число. Это означает, что вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению соответствующего положительного числа.
Вы помните, что векторы называются противоположными, если их длины равны, а направления противоположны
Так вот если в данной иллюстрации у вектора сменить направление, то есть заменить его на «», то мы получим, что вектор равен разности векторов и , а также, по правилу треугольника, сумме векторов и «».
Так мы получили два способа построения вектора разности.
Рассмотрим тот же параллелепипед, что и в предыдущей задаче.
Нужно назвать векторы, начало и конец которых совпадают с вершинами параллелепипеда, и которые равны соответствующей разности векторов.
Найдём вектор разности векторов и .
Они отложены от одной точки, поэтому вектором разности будет являться вектор, направленный из конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого .
Например, 3,0 , 8,978 , 123,901 , -12,36.
Например, 3 + (-4), -98 – (-5,67). Вы не можете ввести 5 + (-3, так как это уравнение содержит только одну скобку. Символы, заключенные в скобки, всегда должны заканчиваться числом, а не знаком операции.
Например, (3 – 4 + 5) является допустимым вводом, а (3 – 4 +) 5 – нет. Можно также использовать квадратные скобки, [], или фигурные скобки, {}, но калькулятор автоматически преобразует их в круглые скобки, ().
Вы можете использовать столько последовательных знаков операций, сколько необходимо, не разделяя их пробелами или другими символами.
Cложение и вычитание: порядок выполнения
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 184.
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 184.
Сложение и вычитание – это базовые действия даже не математики, а ее основы: арифметики. Без этих действий не получится правильно понять куда более сложные операции, такие как умножение, деление или возведение в степень.
Складывать и вычитать можно любые числа: действительные, целые, натуральные и прочие. Из общего списка выделяются только иррациональные числа.
Иррациональные числа нельзя складывать и вычитать в общем смысле этого слова.
Ведь иррациональным числом является любое число со знаком радикала, то есть корня.
Тогда получаем, равны векторы и .
Аналогично, из равенства векторов и следует, что четырёхугольник BCC1B1 также является параллелограммом. А значит, равны векторы и .
Из полученных равенств получаем, что равны векторы и .
Поэтому четырёхугольник AA1C1C — параллелограмм.
Его стороны AC и A1C1 параллельны и равны. А значит, равны векторы и .
Что и требовалось доказать.
Итак, в точности так же, как и на плоскости, мы ввели правило треугольника сложения двух векторов в пространстве. И доказали, что сумма векторов и не зависит от выбора точки А, от которой будет отложен вектор .
Для любых трёх точек пространства А, B и C правило треугольника можно сформулировать так: сумма векторов и равна вектору.
То есть даже не строя вектор суммы можно его найти.
1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba. Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.
2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
3) При любых значениях a, b и c верно равенство (a+b)с=aс+bс. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения), который формулируется так: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения.
Этот калькулятор целых чисел можно использовать для сложения и вычитания целых и десятичных чисел. Калькулятор работает с положительными и отрицательными числами и находит решение для любого количества последовательных операций (например, вы можете ввести 5 + – + – + – + – + – + – – + + + 3, и калькулятор определит знак последней операции, +, выполнит вычисления и вернет окончательный ответ, 8).
Чтобы использовать калькулятор для сложения и вычитания целых и десятичных чисел, введите заданное уравнение и нажмите “Вычислить”.
Калькулятор вернет окончательный ответ, а также пошаговый алгоритм решения с указанием конечного знака для каждой операции. Поле ввода принимает следующие символы:
Диагональ AC и будет вектором суммы данных векторов.
Следующей рассмотрим сумму векторов и .
Они уже отложены от одной точки, и на этих векторах можно построить параллелограмм ABC1D1. Диагональ AC1 и будет являться вектором суммы.
Далее рассмотрим сумму векторов и .
Вектор равен вектору .
И перейдя к сумме векторов и , не трудно заметить, что они отложены друг за другом, и именно поэтому можно применить правило треугольника. Вектор — искомый.
Обратите внимание, пользуясь переместительным законом, можно записать, что сумма векторов и , равна сумме векторов , и .
Тогда по правилу треугольника сложения векторов для трёх произвольных точек пространства, можно сразу записать вектор суммы — . Так мы получили тот же вектор.
Теперь рассмотрим сумму векторов и .
При этом принято говорить, что сложение есть движение точки вправо от нуля, так как сложение подразумевает увеличение числа, а вычитание – уменьшение.
Но это скорее традиция, чем реальное правило, так как даже при сложении чисел, первое слагаемое, которое принимается за начальную точку, может уменьшиться.
Например: 18+(-5)=13 – перед нами операция сложения положительного и отрицательного числа, результатом которой стало уменьшение начального числа. Уменьшение означает перенос влево по числовой прямой.
Рациональные и иррациональные числа это две разные категории сложения и вычитания.
Всем привычные действия выполняют только с рациональными числами.
Первым делом нужно сравнить числа между собой.
Приведем небольшой пример последнего пункта:
0-15=-15
При этом из отрицательного числа может вычитаться отрицательное, но в этом и любых похожих случаях нужно воспользоваться правилом знаков и преобразовать выражение в привычный вид:
-25-(-16)=-25+16=16-25=-9 – это несложно, нужно только разобраться в процессе
Мы повторили, что такое сложение и вычитание.
Математика
Сложение и вычитание
Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа – слагаемыми.
Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком “минус”.
Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.
От перестановки мест слагаемых сумма не изменяетсяa+b=b+a.
Результат действия называется разностью. Сами числа – уменьшаемое и вычитаемое.
Сложение положительного и отрицательного числа – это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа.
