Будет интересно

Закон гука через параметры ламе

Закон гука через параметры ламе

Kޟ�2�fP�\�NR~:e24h�$��8�?’�$(���p��4H���#��p��9�%A�ڋn�ˠcs��Q����1�hkڣ�Yy~�J)’e�LH�a��fD5�ɒ��)R�54��q߾?�y�B��B��n”��ާ0�&?W�]�I�<[7h��V���`��1�y�����VB6L���ڣ�B�P�Qidb�]N���q�Be��’��’׊ce^n�8V� ���Q�x^�x�=� q:#V[��j�N�zȦ��[8K��WH}��?%�ϕ��ּkOK��L�N�H��(�f’�/”͍� �*�|p?p���:��#�Y�J���h�T���ZoI���D�]��4���^�{�’2�(�5�����L��L�Ɍ�(�=�(�+ ��[�N �S%m��_͖N�2��tV�9�$ �d���7����^��Ug�ޝ��&�U “�v� �P”k�P�,��=�`��fy�K�XJEE)�x�V@8RJ�u�u+HK9ԲX[ x��S�X6!/����y4���s~�w�ܙ�f�����ߌ�؎oс:R�T�(�`���m��Z0� �<���I����<���d��|�c�*��r� “���<����M�n�d�)�g��Qib�J��F04��Joc�ߩY���ԙ�(Q��%�ZL�\�`ޭN�Zi�6��b)�I��t�_砧dk*�<�����簶��l��v�`’�A{�W�e����@C�� Ҋ\�ҿ���G��㑫[_�Ir�_B�X�.�����|Y�H��@��(*�U@��q����Js�<��s-��oX�R˩_���b}��U�/: -�0�hՎ�Z}X�d�GC���`)z��A/QAE��Nԕ谚x��u�H���2 ����:�I�̟�3�u��d��5��w{3#��”����V�R)s���徕�_%�ێ-5�i����6��}�����Aj�o��f���.6��5����Z�e������^���d�qaB^G��c�X١��HoĤ��ٰ�,�.


PageLayout/SinglePage/Pages 1027 0 R/StructTreeRoot 121 0 R/Type/Catalog endobj 1033 0 obj </Properties</Rotate 0/StructParents 0/Tabs/S/Type/Page endobj 1034 0 obj <stream h��UKo�F�����}?�T����v\ˮZ,x�-V& ��՟o���V�D��^fvv^��o�Qi%�JK� ��E�0<0�mÉ1��:I���S8M��8xQ:r0�6�����iJ8��f�n�۷�U�ɏ���臣�я’��n�’�����V9�A���&/[���۠1����z��E�:�-�S����&_M[��?��v۹ 4���p`T�d<����ȇ��$�l�./V�-т’��S=�%��l���We;U�S�\�B)�o����lS�w��l]���I’+�y(��1N��O~�e�8��y�=U�e���u�<&WU���Q��3�&���r�� M�m��IȮ�A7d^۶��ߞ~H�5yP9:�c��߬��$�e6�����e�M�+�LP@2�x�H��v�8��������s�j�<���xiA��;P뭑���k�SÙW(���K���x�l��^Q��q�(̤�=�RK�W�g�� �d��N��2� �A �,Ȕ��”/�a_b�����CP_�D�”�;�=�&�N5ȏ��#��&e4D�b�J_�J7��c���h(�Y�P-1��ۗ=T�&��]Y@)���Ѿߎ �?A��A��Od�in�V��_Aú��}�H�����xz1}5c�.o_���?@{?�B�,Ư����ŏ�)��Dl �Va�1�#�QT�R:U�yC9��0p��k�RM1�g��Ώ�#nR�(�.
Такими скалярами являются и .

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

.

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.VII. Теория упругости. — Наука, 1987.
  1. ↑Кац А.М.Теория упругости. — СПб.: Лань, 2002. — С. 48. — 208 с. — ISBN 5-8114-0453-0.
  2. ↑Новацкий В. Теория упругости / Пер с польск. Б.Е.Победри. — М.: Мир, 1975.
    — С. 102. — 872 с.
  3. ↑Работнов Ю.Н.Механика деформируемого твёрдого тела. — М.: Наука, 1988. — С. 239. — 712 с. — ISBN 5-02-013812-6.
  4. ↑Амензаде Ю.А.Теория упругости.

Если объемные силы равны нулю или постоянны, то

(34)

причем запись в данном случае не подразумевает суммирования по i. Здесь

(35)

или, с учетом (31)

(36)

Подставив (22) в (34) и проведя преобразования, получим

а, следовательно

(37)

где – функция, удовлетворяющая данному равенству. Если

следовательно, f – функция гармоническая.
Значит и объемная деформация также функция гармоническая.

Считая верным предыдущее предположение, возьмем гармонический оператор от i -ой строчки уравнения Ламе

(38)

Где (39)

Если объемные силы равны нулю или постоянны, то компоненты перемещения есть бигармонические функции.

Известны различные формы представления бигармонических функций через гармонические (удовлетворяющие уравнениям Ламе).

где k = 1,2,3.

Такими скалярами являются и .

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

.

Связь с другими модулями упругости

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

Гидродинамика

В уравнении Навье-Стокса — уравнениях движения сжимаемой жидкости:

коэффициенты динамической вязкостиλ и η являются соответственно первым и вторым параметрами Ламе.

Литература

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. .

Eu��~?����|ea��/�b] �B� i�(%_I�m4`��O�8m��і�G���#��<��G7��*�#M b\?:��k!���ϡ ��� �F� #�c����i�pP�@`�(�8M !!� h�bs��8�� l���� ����w?]�cm�)�1���`Գ�O��6�&�v��k��’!!��8� Z�蝠]pZ.�h5�ش�8s9�ak�,aI͛��xF��g4+y�ܩd �� -���v�u��g�na�9���Jӄ$__��B��M, ��P���@=9��R��d�-�������o�7~��C���r�d==�w���J���(�ݤFVF�E�}H��$���5j�V�b^b�݊X�8��7�P͓s��&hw1sث�=���� ή�o1��p@f��%[r��χ=���� �v�EZ�;��`��/K��#@ئ�ς�)`�ҽ��h�@����~����]Wjv��/QoĀru�hO��Q�eR���N��zr�P��1Z̆��s��A��.���Y5D��Ӭz�o���V���j�ZU�K��|Ͽ�+��r����4U�l�˾) ��̧F+�C���W���ϋ2B��4.Cl��[�`�-�.�f��G)��;����%{�����4�b�~{@\�?�����1U2�i��w�o�?�� �wT��]�K�#�$X�bU�F����WX������Be��� ��bZ(��#|”��b���ڬ��n���_!�Ԫ�D سʖ��W�:�e�F?yxo”�^�칚v({a�=J���q�q���*��ᚍ]N�����ҝ�r%��3��Pǹ,;�:�W{�&r*�F\�в5j�.݁q;��1k,S�l��]����R����T���G�D̗~�D۔o�����U��C)��h�{U�(���5�LY��0�$Mĕ��k��`��+����(N{‘b��_��w`�0P;�:��E��������~٦�T�NJ��d�#�q��1�gFʷn”�_��^� �EB���.
Пара́метры Ламе́ (названные в честь Габриэля Ламе) — материальные константы (нем.), характеристики упругих деформаций изотропныхтвёрдых тел, модули упругости.

В линейной теории упругостизакон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

Здесь λ называется первым параметром Ламе, а μ (модуль сдвига, Н/м²) — вторым параметром Ламе.

  • 1Определение через энергию
  • 2Связь с другими модулями упругости
  • 3Гидродинамика
  • 4Литература

Определение через энергию

Энергия упругой деформации является квадратичной формойтензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени.

М.: Высшая школа, 1976. — С. 68. — 272 с.

  • ↑Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / Отв. ред. Г.И.Баренблатт. — М.: Наука, 1982. — С. 48. — 336 с.
  • ↑Седов Л.И.
    Механика сплошной среды. — СПб.: Лань, 2004. — Т. 1. — С. 166. — 528 с. — ISBN 5-8114-0541-3.
  • ↑Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости / Теоретическая физика. В 10-ти т. — М.: Наука, 1987. — Т. 7. — С. 21. — 258 с.
  • ↑Лурье А.И.Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — С. 111. — 940 с.
  • ↑Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.
    — С. 194. — 288 с.
  • ↑Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости / Пер. с англ. под ред. Г.С.Шапиро. — М.: Наука, 1975. — С. 20. — 576 с.
  • ↑Зоммерфельд А.Механика деформируемых сред / Пер. с нем. Е.М.Лифшица. — М.: ИЛ, 1954. — С. 83.
  • Постоя́нные Ламе́[1][2], упругие постоянные Ламе[3][4][5], коэффициенты Ламе[6][7][8], константы Ламе[9][10], модули упругости Ламе[11] (названные в честь французского математика Габриэля Ламе) — материальные константы[нем.], характеристики упругих деформаций изотропныхтвёрдых тел, принадлежащие к множеству модулей упругости.

    В линейной теории упругостизакон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

    Здесь λ называется первым коэффициентом Ламе, а μ — вторым коэффициентом Ламе или модулем сдвига.

    Энергия упругой деформации является квадратичной формойтензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени.

    Подставив во второе уравнение равенств (19) выражение (23), получим, что касательные напряжения

    (25)

    Запишем уравнения равновесия (18) в развернутом виде для j = 1

    (26)

    Подставив в уравнение (26) выражения для нормальных (24) и касательных (25) напряжений, получим

    (27)

    где л- константа Ламе, которая определяется по выражению:

    (28)

    Подставим выражение (28) в уравнение (27) и запишем,

    (29)

    где определяется по выражению (22), или в развернутом виде

    Разделим выражение (29) на G и приведем подобные слагаемые и получим первое уравнение Ламе:

    (30)

    где – оператор Лапласа (гармонический оператор), который определятся как

    (31)

    Аналогично можно получить:

    (32)

    Уравнения (30) и (32) можно записать в следующем виде:

    (33)

    Уравнения (33) или (30) и (32) являются уравнениями Ламе.

    Leave a Reply

    Your email address will not be published. Required fields are marked *